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给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

 

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
 
提示：

1 <= n <= 104

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares
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*/

#include "../stdc++.h"

// 动态规划
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        for (int i{1}; i <= n; ++i) {
            int minn = INT_MAX;
            for (int j{1}; j * j <= i; ++j) {
                minn = min(minn, dp[i - j * j]);
            }
            dp[i] = minn + 1;
        }
        return dp[n];
    }
};

// 数学 - 四平方和定理
class Solution {
public:
    // 判断是否为完全平方数
    bool isPerfectSquare(int x) {
        int y = sqrt(x);
        return y * y == x;
    }

    // 判断是否能表示为 4^k*(8m+7)
    bool checkAnswer4(int x) {
        while (x % 4 == 0) {
            x /= 4;
        }
        return x % 8 == 7;
    }

    int numSquares(int n) {
        if (isPerfectSquare(n)) {
            return 1;
        }
        if (checkAnswer4(n)) {
            return 4;
        }
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            int j = n - i * i;
            if (isPerfectSquare(j)) {
                return 2;
            }
        }
        return 3;
    }
};

// BFS
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        // 第一个int表示具体是第几个数字，第二个int表示之后建立的图中经历的几段路径
        queue<pair<int, int>> q;
        q.push(make_pair(n, 0));
        // 使用一个访问数组，访问过的节点就不再重复访问
        vector<bool> visited(n+1, false);
        visited[n] = true;

        while (!q.empty()) {
            int num = q.front().first;
            int step = q.front().second;
            q.pop();

            for (int i = 1; ; ++i) {
                int a = num - i*i;
                if (a < 0) break;
                if (a == 0) return step + 1;
                if (!visited[a]) {
                    q.push(make_pair(a, step + 1));
                    visited[a] = true;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
};